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低等数学 (测试 MathJax)

差强人意… 映射: 设 \(X\), \(Y\) 是两个非空集合, 如果存在一个法则 \(f\), 使得对 \(X\) 中每个元素 \(x\), 按法则 \(f\),在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应, 那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射记做 \[ f : X \rightarrow Y, \] 其中 \(y\) 称为元素 \(y\)(在映射 \(f\) 下)的像, 并记做 \(f (x)\), 即 \[ y = f (x), \] 而元素 \(x\) 成为元素 \(y\)(在映射 \(f\) 下)的一个原像; 集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域, 记做 \(D_f\), 即 \(D_f = X\); \(X\)中所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域, 记做 \(R_f\) 或 \(f (X)\) , 即 \[ R_f = f (X) = \{ f (x) |x \in X \} . \]

其他名词: 映射又称为算子, 根据集合 \(X\), \(Y\) 的不同情形, 在不同的数学分支中, 映射又有不同的惯用名称. 例如, 从非空集 \(X\) 到数集 \(Y\) 的映射又称为 \(X\) 上的泛函, 从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换,从实数集(或其子集)X到实数集的映射通常称为定义在X上的函数

满射: 若 \(f\) 是从集合 \(X\) 到集合 \(Y\) 的映射, 若 \(R_f = Y\), 则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射或满射; 单射: 若对 \(X\) 中任意两个不同元素 \(x_1 \neq x_2\), 它们的像 \(f (x_1) \neq f (x_2)\), 则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的单射; 一一映射 (或双射): 若映射 \(f\) 既是单射, 又是满射, 则称 \(f\) 为一一映射 (或双射). 逆映射: 设 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的单射, 定义一个从 \(R_f\) 到 \(X\) 的新映射 \(g\), 即 \[ g : R_f \rightarrow X, \] 对每个 \(y \in R_f\), 规定 \(g (y) = x\), 这 \(x\) 满足 \(f (x) = y\). 这个映射称为 \(f\) 的逆映射, 记做 \(f^{- 1}\). 复合映射: 设有两个映射 \(g : X \rightarrow Y_1\),\(f : Y_2 \rightarrow Z\),其中 \(Y_1 \subset Y_2\),则由映射 \(g\) 和 \(f\) 可以定出一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的对应法则, 它将每个 \(x \in X\) 映成 \(f [g (x)] \in Z\). 将这个对应法则确定的映射成为映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射, 记做 \(f \nosymbol \circ g\), 即 \[ f \circ g : X \rightarrow Z, (f \circ g) (x) = f [g (x)], x \in X. \]

函数: 设数集 \(D \subset R\), 则称映射 \(f : D \rightarrow R\) 为定义在 \(D\) 上的函数, 通常简记为 \[ y = f (x), x \in D, \] 其中 \(x\) 称为自变量, \(y\) 称为因变量, \(D\) 称为定义域, 记作 \(D_f\), 即 \(D_f = D\). 函数的定义中, 对每个 \(x \in D\), 按对应法则 \(f\), 总有唯一确定的值 \(y\) 与之对应, 这个值称为函数 \(f\) 在 \(x\) 处的函数值, 记作 \(f (x)\), 即 \(y = f (x)\). 因变量 \(y\) 与自变量 \(x\) 之间的这种依赖关系, 通常称为函数关系. 函数值 \(f (x)\) 的全体所构成的集合称为函数 \(f\) 的值域, 记作 \(R\) 或 \(f (D)\), 即 \[ R_f = f (D) = \{ y|y = f (x), x \in D \} . \]

函数的几种特性: 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性. 分段函数: 在自变量的不同变化范围中, 用不同式子来表示不同对应法则的函数, 通常称为分段函数. 反函数: 设函数 \(f : D \rightarrow f (D)\) 是单射, 则它存在逆映射 \(f^{- 1} : f (D) \rightarrow D\), 称此映射 \(f^{- 1}\) 为函数 \(f\) 的反函数. 按此定义, 对每个 \(y \in f (D)\), 有唯一的 \(x \in D\), 使得 \(f (x) = y\), 于是有 \[ f^{- 1} (y) = x. \] 这就是说,反函数 \(f^{- 1}\) 的对应法则是完全由函数 \(f\) 的对应法则所确定的. 若 \(f\) 在 \(D\) 上单调增加, 则 \(f^{- 1} \) 在 \(f (D)\) 上也是单调增加的, 单调递减同理. \(f\) 与 \(f^{- 1}\) 的图形关于直线 \(y = x\) 对称. 相对于反函数 \(y = f^{- 1} (x)\) 来说, 原来的函数 \(y = f (x)\) 称为直接函数. 复合函数: 设函数 \(y = f (u)\) 的定义域为 \(D\), 函数 \(u = g (x)\) 的定义域为 \(D_g\), 且其值域 \(R_g \subset D_f\), 则由下式确定的函数 \[ y = f [g (x)], x \in D_g \] 称为由函数 \(u = g (x)\) 与函数 \(y = f (u)\) 构成的复合函数, 它的定义域为 \(D\), 变量 \(u\) 称为中间变量. 在初等数学中已经讲过下面几类函数:

  • 幂函数: \(y = x^{\mu}\) ( \(\mu \in R\) 是常数),
  • 指数函数: \(y = a^x\) ( \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\) ),
  • 对数函数: \(y = \log_a x\) ( \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\), 特别当 \(a = e\) 时, 记为 \(y = \ln x\) ),
  • 三角函数: 如 \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(y = \tan x\) 等,
  • 反三角函数: 如 \(y = \arcsin x\), \(y = \arccos x\), \(y = \arctan x\) 等. 以上这五类函数统称为基本初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: \( sh x = \frac{e^x - e^{- x}}{2} \), 双曲余弦: \( ch x = \frac{e^x + e^{- x}}{2} \), 双曲正切: \( th x = \frac{sh x}{ch x} = \frac{e^x - e^{- x}}{e^x + e^{- x}}\). 根据双曲函数的定义, 可证下列四个公式: \[ sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y, \] \[ sh (x - y) = sh x ch y - ch x sh y, \] \[ ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y, \] \[ ch (x - y) = ch x ch y - sh x sh y. \] 由以上几个公式可以导出其他一些公式, 例如: \[ ch^2 x - sh^2 x = 1, \] \[ sh 2 x = 2 sh x ch x, \] \[ ch 2 x = ch^2 x + sh^2 x. \] 反双曲函数: 反双曲正弦: \(y = arsh x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)\), 反双曲余弦: \(y = arch x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)\), 反双曲正切: \(y = arth x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}\).
数列的极限

数列: 按照某一法则, 对每个 \(n \in N_+\), 对应着一个确定的实数 \(x_n\), 这些实数按照下标 \(n\) 从小到大排列得到的一个序列 \[ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \ldots \] 就叫做数列, 简记为数列 \(\{ x_n \}\). 数列中的每一个数叫做数列的, 第 \(n\) 项 \(x_n\) 叫做数列的一般项 (或通项). 数列极限: 设 \(\{ x_n \}\) 为一数列, 如果存在常数 \(a\), 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (不论它多么小), 总存在正整数 \(N\), 使得当 \(n > N\) 时, 不等式 \[ | x_n - a | < \varepsilon \] 都成立, 那么就称常数 \(a\) 是数列 \(\{ x_n \}\) 的极限, 或者称数列 \(\{ x_n \}\) 收敛于 \(a\), 记为 \[ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a, \] 或 \[ x_n \rightarrow a (n \rightarrow \infty) . \] 极限的唯一性: 如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛, 那么它的极限唯一. 收敛数列的有界性: 如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛, 那么数列 \(\{ x_n \}\) 一定有界. 收敛数列的保号性: 如果 \(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a\), 且 \(a > 0\) (或 \(a < 0\)), 那么存在正整数 \(N\), 当 \(n > N\) 时, 都有 \(x_n > 0\) (或 \(x_n < 0\)). 推论: 如果数列 \(\{ x_n \}\) 从某项起有 \(x_n \geqslant 0\) (或 \(x_n \leqslant 0\)), 且 \(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a\), 那么 \(a \geqslant 0\) (或 \(a \leqslant 0\)). 收敛数列的子数列: 如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛于 \(a\), 那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是 \(a\).

函数的极限
  • 去心邻域: 以 \(x_0\) 为中心的任何开区间称为点 \(x_0\) 的邻域, 记做 \(U (x_0)\); 在 \(U (x_0)\) 中去掉中心 \(x_0\) 后, 称为点 \(x_0\) 的去心邻域, 记做 \(Ů (x_0)\). 设 \(x_0 \in R\), \(\delta > 0\), 开区间 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) 称为点 \(x_0\) 的 \(\delta\) 邻域, 记作 \(U (x_0, \delta)\). 点 \(x_0\) 的去心 \(\delta\) 邻域记作 \(Ů (x_0, \delta)\), \(\delta\) 称为邻域半径. 函数的极限: 设函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数 \(A\), 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (不论它多么小), 总存在正数 \(\delta\), 使得当 \(x\) 满足不等式 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) 时, 对应的函数值 \(f (x)\) 都满足不等式 \[ | f (x) - A | < \varepsilon, \] 那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f (x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) 时的极限, 记做 \[ \lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = A或f (x) \rightarrow A (当x \rightarrow x_0) . \] 单侧极限: 适当更改函数的极限的定义即可, 此处略. 左极限, 记作 \(\lim_{x \rightarrow x^-_0} f (x) = A\) 或 \(f (x^-_0) = A\). 右极限, 记作 \(\lim_{x \rightarrow x^+_0} f (x) = A\) 或 \(f (x^+_0) = A\).
  • 自变量趋于无穷大时函数的极限: 设函数 \(f (x)\) 当 \(| x |\) 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 \(A\), 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (不论它多么小), 总存在着正数 \(X\), 使得当 \(x\) 满足不等式 \(| x | > X\) 时, 对应的函数值 \(f (x)\) 都满足不等式 \[ | f (x) - A | < \varepsilon, \] 那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f (x)\) 当 \(x \rightarrow \infty\) 时的极限, 记作 \[ \lim_{x \rightarrow \infty} f (x) = A或f (x) \rightarrow A (当x \rightarrow \infty), \] 这时, 直线 \(y = A\) 是函数 \(y = f (x)\) 的图形的水平渐近线.
  • 自变量趋于无穷大时函数的极限(简明定义): \[ \lim_{x \rightarrow \infty} f (x) \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, 当 | x | > X时, 有 | f (x) - A | < \varepsilon . \]
  • 函数极限的唯一性: 如果 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f (x)\) 存在, 那么这极限唯一.
  • 函数极限的局部有界性: 如果 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = A\), 那么存在常数 \(M > 0\) 和 \(\delta > 0\), 使得当 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) 时, 有 \(f (x) \leqslant M\).
  • 函数极限的局部保号性: 如果 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = A\), 且 \(A > 0\) (或 \(A < 0\)), 那么存在常数 \(\delta > 0\), 使得当 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) 时, 有 \(f (x) > 0\) (或 \(f (x) < 0\)). 无穷小: 如果函数 \(f (x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) (或 \(x \rightarrow \infty\)) 时的极限为零, 那么称函数 \(f (x)\) 为当 \(x \rightarrow x_0\) (或 \(x \rightarrow \infty\)) 时的无穷小. 数列 \(n \rightarrow \infty\) 时同理.
  • 无穷小与函数极限: 在自变量的同一变化过程 \(x \rightarrow x_0\) (或 \(x \rightarrow \infty\)) 中, 函数 \(f (x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f (x) = A + \alpha\), 其中 \(\alpha\) 是无穷小. 无穷大: 设函数 \(f (x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义 (或 \(| x |\) 大于某一正数时有定义). 如果对于任意给定的正数 \(M\) (不论它多么大), 总存在正数 \(\delta\) (或正数 X), 只要 \(x\) 适合不等式 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) (或 \(| x | > X\)), 对应的函数值 \(f (x)\) 总满足不等式 \[ | f (x) | > M, \] 那么称函数 \(f (x)\) 是当 \(x \rightarrow x_0\) (或 \(x \rightarrow \infty\)) 时的无穷大. 也说函数的极限是无穷大, 记作 \[ \lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = \infty (或 \lim_{x \rightarrow \infty} f (x) = \infty), \] 适当改变定义也有 \[ \lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = \pm \infty (或 \lim_{x \rightarrow \infty} f (x) = \pm \infty) . \]

极限的运算法则:

  • 有限个无穷小之和是无穷小;
  • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小;
  • 有限个无穷小的乘积是无穷小;
  • \(\lim [f (x) \pm g (x)] = \lim f (x) + \lim g (x)\);
  • \(\lim [f (x) \cdot g (x)] = \lim f (x) \cdot \lim g (x)\);
  • 若 \(\lim g (x) \neq 0\), 则 \(\lim \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\lim f (x)}{\lim g (x)}\);
  • 若 \(f [g (x)]\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义, 若 \(\lim_{x \rightarrow x_0} g (x) = u_0\), \(\lim_{u \rightarrow u_0} f (u) = A\), 且存在 \(\delta_0 > 0\), 当 \(x \in Ů (x_0, \delta_0)\) 时, 有 \(g(x) \neq u_0\), 则 \[ \lim_{x \rightarrow x_0} f [g (x)] = \lim_{u \rightarrow u_0} f (u) = A. \]

极限的存在准则: * 夹逼准则: 如果 当 \(x \in Ů (x_0, r)\) (或 \(| x | > M\)) 时, \(g (x) \leqslant f (x) \leqslant h (x)\); \(\lim_{x \rightarrow x_0} g (x) = A\), \(\lim_{x \rightarrow x_0} h (x) = A\) (或 \(\lim_{x \rightarrow \infty} g (x) = A\), \(\lim_{x \rightarrow \infty} h (x) = A\)), 那么 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f (x)\) (或 \(\lim_{x \rightarrow \infty} f (x)\)) 存在, 且等于 \(A\). 数列同理. 单调有界数列必有极限. 设函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 的某个左邻域内单调并且有界, 则 \(f (x)\) 在 \(x\) 的左极限 \(f (x_0^-)\) 必定存在. * 柯西 (Cauchy) 极限存在准则 (柯西审敛原理): 数列 \(\{ x_n \}\) 收敛的充分必要条件是: 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\), 存在正整数 \(N\), 使得当 \(m > N\), \(n > N\) 时, 有 \[ | x_n - x_m | < \varepsilon . \]

无穷小的比较\footnote{相似地, 应该也存在无穷大的比较方式, 但是《高等数学》似乎没有提到.}: (\(\alpha\), \(\beta\) 均为无穷小) * 如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0\), 那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小, 记作 \(\beta = o (\alpha)\); * 如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty\), 那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小; * 如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0\), 那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小; * 如果 \(\lim \frac{\beta}{a^k} = c \neq 0\), 那么就说 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小; * 如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1\), 那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小, 记作 \(\alpha \sim \beta\). * \(\alpha \sim \beta \Leftrightarrow \beta = \alpha + o (\alpha)\). * \(\alpha \sim \tilde{\alpha}\), \(\beta \sim \tilde{\beta}\), 且 \(\lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}\) 存在, 则 \[ \lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}} . \]

函数的连续性: 设函数 \(y = f (x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义, 如果 \[ \lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = f (x_0), \] 那么就称函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 连续. 如果 \(f (x_0^-) = f (x)\), 那么就说函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 左连续. 如果 \(f (x_0^+) = f (x_0)\), 那么就说函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 右连续. 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 若函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数 \(f (x)\) 有下列三种情形之一: * 在 \(x = x_0\) 没有定义; * 在 \(x = x_0\) 有定义, 但 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f (x)\) 不存在; * 在 \(x = x_0\) 有定义, 且 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f (x)\) 存在, 但 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f (x) \neq f (x_0)\),

那么函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 为不连续, 而点 \(x_0\) 成为函数 \(f (x)\) 的不连续点间断点. 第一类间断点: 间断处的左极限与右极限均存在; 第二类间断点: 第一类以外的所有间断点. * 第一类间断点: 可去间断点, 跳跃间断点. * 第二类间断点: 无穷间断点, 振荡间断点.

设函数 \(f (x)\) 和 \(g (x)\) 在点 \(x_0\) 连续, 则它们的和 (差) \(f \pm g\), 积 \(f \cdot g\) 及商 \(\frac{f}{g}\) (当 \(g (x_0) \neq 0\) 时) 都在点 \(x_0\) 连续. 反函数, 复合函数从略.

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 一切初等函数在其定义区间 (包含在定义域内的区间) 内都是连续的. * 闭区间内连续函数的性质 * 有界性与最大值最小值定理 * 零点定理与介值定理 一致连续性 * 导数与微分 * 导数: \[ f’ (x_0) = \lim_{\vartriangle x \rightarrow 0} \frac{\vartriangle y}{\vartriangle x} = \lim_{\vartriangle x \rightarrow 0} \frac{f (x_0 + \vartriangle x) - f (x_0)}{\vartriangle x}, \] 若该极限存在, 则称函数 \(f (x)\) 在点 \(x_0\) 处可导, 并称这个极限为函数 \(y = f (x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数, 记为 \(f’ (x)\), 也可记作 \(y’ |_{x = x_0}\), \(\frac{dy}{dx} |_{x = x_0}\) 或 \(\frac{d f (x)}{dx} |_{x = x_0}\). 如果函数 \(y = f (x)\) 在开区间 \(I\) 内的每点处都可导, 那么就称函数 \(f (x)\) 在开区间 \(I\) 内可导. 这是, 对于任一 \(x \in I\), 都对应着 \(f (x)\) 的一个确定的导数值, 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数 \(y = f (x)\) 的导函数, 记作 \(y’\), \(f’ (x)\), \(\frac{dy}{dx}\) 或 \(\frac{d f (x)}{dx}\). 单侧导数: 略.

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